Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）与y轴交于C点，与x轴交于A（-2，0）、B两点，抛物线的对称轴直线x=1交抛物线于D点，交直线BC于E点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）F为直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点F，使四边形ABFC的面积为11？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
（3）直线l∥DE，交BC于P点，交抛物线于Q点，当以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得FG的长，根据面积可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得QP的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A，B关于x=1对称，得
B（4，0），
将A，B代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）F为直线BC上方的抛物线上一个动点，不存在点F，使四边形ABFC的面积为11，理由如下：
如图1，
当x=0时，y=4，即C（0，4）．
AB的长是4-（-2）=6．
BC的解析式为y=-x+4
设F（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），G（m，-m+4）．
FG的长是（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）-（-m+4）=-$\frac{1}{2}$m²+2m．
S_{四边形ABFC}=S_△ABC+S_BCF
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$FG•x_B
=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²+2m），
由S_{四边形ABFC}=11，得
$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=11，
化简，得m²-4m-1=0
解得m=2-$\sqrt{5}$＜0（舍），m=2+$\sqrt{5}$＞4（舍），
F为直线BC上方的抛物线上一个动点，不存在点F，使四边形ABFC的面积为11；

（3）如图2
当x=1时，y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=$\frac{9}{2}$，即D（1，$\frac{9}{2}$），
BC的解析式为y=-x+4，
当x=1时y=3，即E（1，3），
DE的长为$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$
设Q（n，-$\frac{1}{2}$n²+n+4），P（n，-n+4）．
PQ的长是（-$\frac{1}{2}$n²+n+4）-（-n+4）=-$\frac{1}{2}$n²+2n．
由DE=PQ，得
-$\frac{1}{2}$n²+2n=$\frac{3}{2}$，
化简，得
n²-4n+3=0，
解得n₁=1（舍），n₂=3，
-n+4=-3+4=1，
即P（3，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用轴对称的性质得出B点坐标；解（2）的关键是利用面积的和差得出关于m的方程；解（3）的关键是利用平行四边形的对边相等得出关于n的方程．