【题目】如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.则下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③∠AHC=60°;④△BFG是等边三角形;⑤HB平分∠AHD.其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
由题中条件可得△ABE≌△CBD,得出对应边、对应角相等,进而得出△BGD≌△BFE,△ABF≌△CGB,再由边角关系即可求解题中结论是否正确,进而可得出结论.
∵△ABC与△BDE为等边三角形,
∴AB=BC,BD=BE,
∴∠ABE=∠CBD,
即AB=BC,BD=BE,∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD,
∴S△ABE=S△CBD,AE=CD,∠BDC=∠AEB,
又∵
∴△BGD≌△BFE,
∴BG=BF,
故①②正确;
∵△ABE≌△CBD,
∴∠EAB=∠BCD,
∵
∴ ∴③正确;
∵BF=BG,
∴△BFG是等边三角形,∴④正确;
∴
∴FG∥AD,
∵BF=BG,AB=BC,,
∴△ABF≌△CBG,
∴∠BAF=∠BCG,
∴
∴
∵
∴B、G、H、F四点共圆,
∵FB=GB,
∴∠FHB=∠GHB,
∴BH平分∠GHF,
∴⑤正确;
故选:D.
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【题目】如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;
(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB , BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
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【题目】已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
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【题目】问题引入:
(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示);如图②,∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α,则∠BOC=(用α表示)拓展研究:
(2)如图③,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由.
类比研究:
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC= .
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【题目】如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是AC、AB边上点,连接EF.
(1)图①,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△EDF , 求AE的长;
(2)如图②,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论;
②求EF的长;
(3)如图③,若FE的延长线与BC的延长线交于点N,CN=1,CE= ,求 的值.
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【题目】如图1,抛物线y=﹣ [(x﹣2)2+n]与x轴交于点A(m﹣2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结BC.
(1)求m、n的值;
(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN.求△NBC面积的最大值;
(3)如图3,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AD,BC相交于点O,OA=OD,OB=OC.下列结论正确的是( )
A. △AOB≌△DOC B. △ABO≌△DOC C. ∠A=∠C D. ∠B=∠D
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【题目】“龟兔首次赛跑“之后,输了比赛的兔子没有气馁,总结反思后,和乌龟约定再赛一场.图中的图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所行的时间,y1表示乌龟所行的路程,y2表示兔子所行的路程).有下列说法:
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米
②兔子和乌龟同时从起点出发
③乌龟在途中休息了10分钟
④兔子在途中750米处追上乌龟
其中说法正确的是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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