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【题目】问题引入:

(1)如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(用α表示);如图②,∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α,则∠BOC=(用α表示)拓展研究:
(2)如图③,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=(用α表示),并说明理由.
类比研究:
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=

【答案】
(1)90°+ α;120°+ α
(2)120°﹣ α
(3)
【解析】解:(1)如图①,∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB),
在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)
=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°﹣ (180°﹣∠A)=90°+ ∠A=90°+ α;
如图②,在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)
=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°﹣ (180°﹣∠A)=120°+ ∠A=120°+ α;(2)如图③,在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣ (∠DBC+∠ECB)=180°﹣ (∠A+∠ACB+∠A+ABC)=180°﹣ (∠A+180°)=120°﹣ α;(3)在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣ (∠DBC+∠ECB)=180°﹣ (∠A+∠ACB+∠A+ABC)=180°﹣ (∠A+180°)= α.
所以答案是90°+ α,120°+ α;120°﹣ α; α.

【考点精析】根据题目的已知条件,利用角的运算的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握角之间可以进行加减运算;一个角可以用其他角的和或差来表示.

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(1)在图1中,求证:△ABE≌△ADC.
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120°,请你探索在图2中,∠BOC的度数,并说明理由或写出证明过程.
(3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图3中∠BOC=(填写度数).
(4)由此推广到一般情形(如图4),分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形,BE和CD仍相交于点O,猜想得∠BOC的度数为(用含n的式子表示).

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【题目】已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,且满足△PBC∽△PAM,延长BP交AD于点N,连结CM.

(1)如图一,若点M在线段AB上,求证:AP⊥BN;AM=AN;
(2)①如图二,在点P运动过程中,满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN是否成立?(不需说明理由)
②是否存在满足条件的点P,使得PC= ?请说明理由.

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【题目】如图,在ABC中,AB=AC,DBC边上一点,∠B=30°DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)请说明:AB=CD.

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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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(1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;

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