Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△ADF，BC的延长线交DF于点E，连接BD，BC=2EF，求证：BE平分∠DBF．

Answer 1

分析 由旋转的性质得出DF=BC，证出EF=ED，根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，证得BE是DF的垂直平分线，得出BF=BD，由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．

解答 证明：由旋转的性质得：△ADF≌△ABC，
∴DF=BC，
∵BC=2EF，
∴DF=2EF，
∴E为DF中点，
∴EF=ED，
∵在直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ABC=∠ADF，
∴∠ACB+∠ADF=90°．
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECD+∠ADF=90°，
∴∠CED=90°，
∴BE⊥DF，
∴BF=BD，
∴BE平分∠DBF．

点评 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，证明BE⊥DF是解决问题的关键．