Question

19．如果函数y=（a-1）x²+3x+a+5的图象经过平面直角坐标系的三个象限，那么a的取值范围是（　　）

• A． a≥-5
• B． a＜1
• C． -1＜a＜-2+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
• D． -2-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$＜a＜-5或1＜a＜-2+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由抛物线与x轴有两个不同的交点结合根的判别式，即可得出a的取值范围，再分抛物线的开口方向不同，即可得出关于a的一元一次不等式，解之结合a的取值范围，即可得出结论．

解答 解：当关于x的一元二次方程（a-1）x²+3x+a+5=0有两个不相等的实数根时，
△=3²-4（a-1）（a+5）=-4a²-16a+29＞0，
解得：-2-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$＜a＜-2+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
函数y=（a-1）x²+3x+a+5的图象经过平面直角坐标系的三个象限分两种情况：
①抛物线开口向上时，如图1所示，此时a-1＞0，
∴1＜a＜-2+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；
②抛物线开口向下时，如图2所示，此时a+5＜0，
解得：-2-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$＜a＜-5．
故选D．

点评 本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过三个象限”所满足的条件．