Question

16．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=$\frac{1}{2}$AB=AE，DF=$\frac{1}{2}$AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；
（2）设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得到x²+2xy+y²=49，再根据Rt△AOE中，AO²+EO²=AE²，得到x²+y²=36，据此可得xy=$\frac{13}{2}$，进而得到菱形AEDF的面积S．

解答 解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴Rt△ABD中，DE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
Rt△ACD中，DF=$\frac{1}{2}$AC=AF，
又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，
∴AE=3，
设EF=x，AD=y，则x+y=7，
∴x²+2xy+y²=49，①
∵AD⊥EF于O，
∴Rt△AOE中，AO²+EO²=AE²，
∴（$\frac{1}{2}$y）²+（$\frac{1}{2}$x）²=3²，
即x²+y²=36，②
把②代入①，可得2xy=13，
∴xy=$\frac{13}{2}$，
∴菱形AEDF的面积S=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{13}{4}$．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半．