Question

11．如图，已知AC=8，∠A=30°，∠C=105°，求AB和BC的长．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB于D，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再根据∠C=105°，求出∠ACD和∠BCD的度数，根据勾股定理求出AD，再根据∠CDB=90°，求出∠CBD=∠BCD=45°，从而求出BD的值，最后根据AB=AD+DB，求出AB，再根据勾股定理求出BC即可．

解答 解：过点C作CD⊥AB于D，
∵∠B=30°，AC=8，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵∠C=105°，
∴∠ACD=90°-30°=60°，∠BCD=45°，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=BD=4，
∴AB=AD+DB=4$\sqrt{3}$+4，
BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出两个特殊直角三角形是解题的关键．