Question

19．如图，抛物线y=ax²+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），请解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）写出把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）把点A（0，3），B（-1，0）代入抛物线y=ax²+2x+c，建立方程组求得a、c即可；
（2）化为顶点式求得抛物线的顶点坐标，得出点E坐标，利用勾股定理求得BD的长；
（3）利用平移的规律和顶点式得出平移后的规律即可．

解答 解：（1）把点A（0，3），B（-1，0）代入抛物线y=ax²+2x+c得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式y=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
顶点D的坐标为（1，4），点E坐标为（1，0），
则BD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（3）把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位的函数解析式y=-（x-1-3）²+4+2=-（x-4）²+6．

点评 此题考查待定系数法求函数解析式，抛物线的平移规律，勾股定理，掌握待定系数法是解决问题的关键．