Question

1．如图，在△ABC中，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，CD，∠DBC=∠ACD=30°，∠ADC=90°，DB=3，BC=8，则AB的长为$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过D作DP⊥BD，作∠BPD=30°，连接BP，CP，于是得到△DAC∽△DBP，根据相似三角形的性质得到$\frac{DB}{DP}=\frac{DA}{DC}$，由∠BDA=∠PDC，证得△BDA∽△PDC，在Rt△BDP中，确定BP=6，DP=3$\sqrt{3}$，CP=10，于是根据$\frac{AB}{CP}=\frac{DB}{DP}$，即可得到结论．

解答 解：过D作DP⊥BD，作∠BPD=30°，连接BP，CP，
∴∠BDP=∠ADC=90°，∠BPD=∠ACD=30°，
∴△DAC∽△DBP，
∴$\frac{DB}{DP}=\frac{DA}{DC}$，
∵∠BDP+∠ADP=∠ADP+∠ADC，
∴∠BAD=∠PDC，
∴△BDA∽△PDC，
在Rt△BDP中，
∵∠BPD=30°，
∴BP=6，DP=3$\sqrt{3}$，∠PBD=60°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴CP=10，
∵$\frac{AB}{CP}=\frac{DB}{DP}$，
即AB=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$×10=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．