Question

19．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，CD是⊙O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC=2CE=6，求⊙O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由CD是⊙O切线，得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到∠EAC=∠ACO，有等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，于是得到结论；
（2）连接BC，由三角函数的定义得到sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，得到∠CAE=30°，于是得到∠CAB=∠CAE=30°，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，解直角三角形即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到∠DCB=∠ACO根据相似三角形的性质得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠EAC=∠A=CAO，
即AC平分∠BAE；

（2）解：连接BC，
∵AE⊥CE，AC=2CE=6，
∴sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠CAE=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径是2$\sqrt{3}$；

（3）CD²=BD•AD，
证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，
∵∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$，
即CD²=BD•AD．

点评 本题考查了切线的性质，三角函数的定义，余角的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．