Question

如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥x轴，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形．
（2）△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函数关系式；若不变，请求出△PQF的面积．
（3）随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF？

Answer 1

分析：（1）设OP=2t，QB=t，PA=13-2t，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）知，只需QB=PA，从而求得t；
（2）根据平行线分线段成比例求得

QB

OP

=

QD

DP

=

1

2

；然后由平行线OB∥DE∥PA分线段成比例求得

QB

AF

=

1

2

；利用等量代换求得AF=2QB=2t，PF=OA=13；最后由三角形的面积公式求得△PQF的面积；
（3）由（2）知，PF=OA=13．分三种情况解答：①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11-t-2t=2t+13-（11-t）；②PQ=FP；③FQ=FP．

解答：解：（1）设OP=2t，QB=t，PA=13-2t，要使四边形PABQ为平行四边形，则13-2t=t
∴t=

13

3

．

（2）不变．
∵

QB

OP

=

QD

DP

，
∴

QD

DP

=

1

2

，
∵QB∥DE∥PA，
∴

QB

AF

=

QE

EF

=

BD

DO

=

QD

DP

=

1

2

，
∴AF=2QB=2t，
∴PF=OA=13，
∴S_△PQF=

1

2

×13×12=78；

（3）由（2）知，PF=OA=13，
①QP=FQ，作QG⊥x轴于G，则11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴t=

3

2

；
②PQ=FP，
∴

(11-3t)2+122

=13，
∴t=2或

16

3

；
③FQ=FP，

[13+2t-(11-t)]2+122

=13，
∴t=1；
综上，当t=

3

2

或2或1或

16

3

时，△PQF是等腰三角形．

点评：本题综合考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定、等腰三角形的判定及勾股定理与直角梯形性质的应用．解答此题时，多处用到了分类讨论的数学思想，防止漏解．