Question

19．一串数：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…
（1）第800个数是多少？
（2）$\frac{5}{17}$是第几个数？
（3）前552个数的和是多少？
（4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由．

Answer 1

分析 分母是1的分数有1个，分母是2的分数由3个，分母是3的分数有5个，…分母是n的分数有2n-1个；分子都是从1开始到与分母的数字相同连续的自然数，再倒数回到1，由此规律解决问题：
（1）首先要计算第800个数之前最大的平方是：当n=28时，n²=784，第784个数是分母为28的最后一个数，
所以可以找到第800个数；
（2）先找分母是16的最后一个数是第16²个数，16²=256，再向右数5个即可，因为同一个分母的数除中间为1的数是一个外，其余都是2个，所以倒数第5个数也是$\frac{5}{17}$，得出结论；
（3）同（1）同理，先计算第552个数之前最大的平方数：当n=23时，n²=529，先计算分母为1至23的所有分数之和：1+2+3+…+23的值，再确定第529到552之间数的和，最后相加即可；
（4）因为分母为n的分数有2n-1个，且这2n-1个分数相加和为n．所以前分母为n的分数之和=$\frac{n（n+1）}{2}$，确定当n为最大时，最接近106时的n=14，即前196个数的和=$\frac{14×15}{2}$=105，与106还相差1，分母为15的分数能否达到几个分数和为1，来判断．

解答 解：观察数列$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，
可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，
∴可得出：分母为n的分数有2n-1个，且这2n-1个分数相加和为n．
第1²个是分母为1的最后一个，
第2²个是分母为2的最后一个，
…
第n²个是分母n的最后一个
（1）∵1+3+5+…+2n-1=n²，
∴令n²≤800，
解得：n≤28，
当n=28时，n²=784，
∴第784个数是分母为28的最后一个数，
∴第800个数的分母为29，分子为800-784=16，
∴第800个数为$\frac{16}{29}$．
（2）∵16²+5=256+5=261，
17²-4=289-4=285，
∴$\frac{5}{17}$是第261个数或第285个数．
（3）令n²≤552，
解得：n≤23，
当n=23时，n²=529，
即前529个数的和=1+2+3+…+23=24×11+12=276，
第530至第552个数之间一共有：552-530+1=23个数，
第530至第552个数的和为：$\frac{1}{24}$+$\frac{2}{24}$+$\frac{3}{24}$+…+$\frac{23}{24}$=$\frac{276}{24}$=11.5，
∴前552个数的和是：276+11.5=287.5；
（4）分母为n时，前n²个数的和为：$\frac{n（n+1）}{2}$，
当n=14时，前14²=196个数的和为：$\frac{14×15}{2}$=105，
第197个数开始为分母是15的数：$\frac{1}{15}$+$\frac{2}{15}$+$\frac{3}{15}$+$\frac{4}{15}$+$\frac{5}{15}$=1，
105+1=106，
所以存在前n个数的和等于106，此时n=196+5=201．

点评 此题考查数字的变化规律，难度较大，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题．