Question

14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：

单价（元/件）	30	34	38	40	42
销量（件）	40	32	24	20	16

（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？

Answer 1

分析 （1）根据题中表格中的数据列出算式，计算即可得到结果；
（2）设y=kx+b，从表格中找出两对值代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，列出W与x的二次函数解析式，利用二次函数性质求出W最大时x的值即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{30×40+34×32+38×24+40×20+42×16}{5}$=934.4（元）；
（2）根据题意设y=kx+b，
把（30，40）与（40，20）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=40}\\{40k+b=20}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=100，
则y=-2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：W=（x-20）y=（x-20）（-2x+100）=-2x²+140x-2000=-2（x-35）²+450，
∵当x=35时，W最大值为450，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．

点评 此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．