Question

如图，已知直线y=ax+b（a≠0）与双曲线（k≠0）交于A、B两点，且点A（2，1），点B的纵坐标为2．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）求线段AB的长；
（4）问在双曲线上是否存在点C，使△ABC的面积等于3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由（结果不需要分母有理化）

Answer 1

解：（1）根据题意知，点A（2，1）在双曲线（k≠0）上，则k=xy=2×1=2，
所以双曲线的解析式为y=；

（2）根据题意知，点B在双曲线y=上，且点B的纵坐标是2．故设B（x，2）．则
2=，
解得，x=1，
故点B的坐标是（1，2）．
∵点A、B都在直线y=ax+b（a≠0）上，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：y=-x+3；

（3）∵A（2，1），B（1，2），
∴AB==，即线段AB的长度是；

（4）存在，理由如下：
如图，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D；过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB=，S_△ABC=3，
∴AB•CH=3，即×=3，
∴CH=3．
设C（x，），则D（3-，）．
∴|CD|=|3--x|．
在Rt△CDH中，∠CDB=45°，CH=3，则CD=6，
得方程|3--x|=6．
①当3--x=6时，解得，x₁=-1，x₂=-2，
∴点C的坐标是（-1，-2），（-2，-1）；
②当3--x=-6时，解得x₁=，x₂=，
∴点C的坐标是（，），（，）；
综上所述，符号条件的点C有4个，即（-1，-2），（-2，-1），（，），（，）．
分析：（1）将点A的坐标代入双曲线解析式，即可求得k的值；
（2）把点B的纵坐标代入（1）中的双曲线解析式即可求得点B的横坐标；然后把点A、B的坐标分别代入直线方程，列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求a、b的值；
（3）利用两点间的距离公式来求线段AB的长度；
（4）如图，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D；过点C作CH⊥AB于点H．利用面积法求得CH=3．然后根据反比例函数图象上点的坐标特征设C（x，），则D（3-，）．
易求|CD|=|3--x|=6；最后通过解绝对值方程来求x的值．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．