【题目】如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
【答案】
(1)证明:∵AD=2BC,E为AD的中点,
∴DE=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,
∴BE=DE,
∴四边形BCDE是菱形
(2)解:连接AC.
∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴AB=BC=1,
∵AD=2BC=2,
∴sin∠ADB= ,
∴∠ADB=30°,
∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,
在Rt△ACD中,∵AD=2,
∴CD=1,AC= .
【解析】(1)由DE=BC,DE∥BC,推出四边形BCDE是平行四边形,再证明BE=DE即可解决问题;(2)在Rt△只要证明∠ADC=60°,AD=2即可解决问题;
【考点精析】通过灵活运用直角三角形斜边上的中线,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可以解答此题.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是 .
①EF= OE;②S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;③BE+BF= OA;④在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE= .
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.
(1)求证:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.
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【题目】如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上.
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C',并直接写出△A'B'C'各顶点的坐标.
(2)求点B旋转到点B'的路径长(结果保留π).
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【题目】小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y(单位:m)与跑步时间t(单位:s)的对应关系如图2所示.下列叙述正确的是( )
A.两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C.小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D.小林在跑最后100m的过程中,与小苏相遇2次
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1 , y1),Q(x2 , y2),与直线BC交于点N(x3 , y3),若x1<x2<x3 , 结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G,
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
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【题目】在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4.则下列四个结论:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△AED的周长是9.其中正确的结论是(把你认为正确结论的序号都填上.)
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【题目】如图,抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E.
(1)求直线BC的解析式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
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