Question

【题目】如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
①EF= OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF= OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE；故正确；②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD ，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；③∴BE+BF=BF+CF=BC= OA；故正确；④过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x（1﹣x）+ （1﹣x）× =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴当x= 时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ；故错误；
所以答案是①②③．

【考点精析】通过灵活运用等腰直角三角形和二次函数的最值，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．