Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．$\widehat{A{A}_{1}}$是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$是以点O为圆心，OA₁为半径的圆弧，$\widehat{{A}_{2}{A}_{3}}$是以点C为圆心，CA₂为半径的圆弧，$\widehat{{A}_{3}{A}_{4}}$是以点A为圆心，AA₃为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA₁A₂A₃A₄A₅…称为“正方形的渐开线”，那么点A₅的坐标是（6，0），点A₂₀₁₅的坐标是（-2015，1）．

Answer 1

分析 点A的坐标为（1，1），则BA₁=1，A₁坐标为（2，0），依此类推，A₂（0，-2），A₃（-3，1），A₄（1，5），A₅是以B为圆心，BA₄为半径的圆弧与x轴的交点，则A₅（6，0），2015÷4=503…3，A₂₀₁₅应与A₃（-3，1）的坐标规律一样，故A₂₀₁₅（-2015，1）．

解答 解：∵点A的坐标为（1，1），四边形ABOC是正方形，
BA₁=1，
∴A₁坐标为（2，0），
∵$\widehat{{A}_{1}{A}_{2}}$是以点O为圆心，OA₁为半径的圆弧，
∴A₂（0，-2），
∵$\widehat{{A}_{2}{A}_{3}}$是以点C为圆心，CA₂为半径的圆弧，
∴A₃（-3，1），
∵$\widehat{{A}_{3}{A}_{4}}$是以点A为圆心，AA₃为半径的圆弧，
∴A₄（1，5），
依此类推，$\widehat{{A}_{4}{A}_{5}}$是以B为圆心，BA₄为半径的圆弧与x轴的交点，
则A₅（6，0），
A₅（6，0）与A₁（2，0）坐标规律相同，
∵2015÷4=503…3，
∴A₂₀₁₅应与A₃（-3，1）的坐标规律一样，
故A₂₀₁₅（-2015，1）．
故答案为：（6，0），（-2015，1）．

点评 本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．