Question

已知抛物线y=x²+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x=m．过点A的直线绕点A （ m，0 ） 旋转，交抛物线于点B （ x，y ），交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x=m交于点D，设△AOB的面积为S₁，△ABD的面积为S₂．
（1）求这条抛物线的顶点的坐标；
（2）判断S₁与S₂的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，
∴c=0，A（2，0），图象与x轴的另一个交点E的坐标为（4，0），对称轴为直线x=2．
∴抛物线为y=x²+bx经过点E（4，0）．
∴b=-4，∴y=x²-4x．
∴顶点坐标为（2，-4）．
答：这条抛物线的顶点的坐标是（2，-4）．

（2）答：S₁与S₂的大小关系是S₁=S₂．
证明：设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b（k≠0），
∴0=2k+b．∴k=-b，
∴y=-x+b，
∴点B₁的坐标为（x₁，-x+b），
点B₂的坐标为（x₂，-x+b），
当交点为B₁时，
S₁=×2×|-x₁+b|=b-x₁，
S₂=×|b|×|2-x₁|=b-x₁，
∴S₁=S₂，
当交点为B₂时，
S₁=×2×|-x₂+b|=-x₂+b，
S₂=×|b|×|x₂-2|=-x₂+b，
∴S₁=S₂，
综上所述，S₁=S₂．
分析：（1）根据抛物线经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，得出c=0，图象与x轴的交点A、E的坐标，对称轴为直线x=2，代入即可求出答案；
（2）设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b（k≠0），代入求出y=-x+b．设点B₁的坐标为（x₁，-x+b），点B₂的坐标为（x₂，-x+b）．当交点为B₁时，根据三角形的面积公式求出即可；当交点为B₂时，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题主要考查对三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．