Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM．②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）探究：当AF与EC有怎样的数量关系时，△ABC是等边三角形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的做法作图即可；
（2）首先证明AF∥BC，进而可得∠AFE=∠CBE，然后再证明△AEF≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AF=BC．
（3）当AF=2EC时，△ABC是等边三角形，注意证明AF=AC即可解决问题．

解答 解：（1）如图所示：


（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAF=∠FAC=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB=∠DAC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∴∠DAF=∠ABC，
∴AF∥BC，
∴∠AFE=∠CBE，
∵E是AC的中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠EBC}\\{∠AEF=∠CEB}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC．

（3）当AF=2EC时，△ABC是等边三角形．
理由：∵AF=2EC，EC=AE，
∴AF=AC，
∵AF=BC，AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是一道中考常考题型．