Question

14．如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知：A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．
（2）利用在△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=$\frac{1}{3}$，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．
（3）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．

解答 解：（1）由题意，设抛物线解析式为y=a（x-3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，3=-a，
解得：a=-1．
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则点B（1，4）；

（2）如图1，Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=$\frac{1}{3}$，sin∠BAE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cos∠BAE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；
由D（-1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO=$\frac{1}{3}$=tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P₁点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P₂在x轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
而DE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，则DP₂=DE÷sin∠DP₂E=$\sqrt{10}$÷$\frac{\sqrt{10}}{10}$=10，OP₂=DP₂-OD=9
即：P₂（9，0）；
③DE为长直角边时，点P₃在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
则EP₃=DE÷cos∠DEP₃=$\sqrt{10}$÷$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{10}{3}$，OP₃=EP₃-OE=$\frac{1}{3}$；
综上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，-$\frac{1}{3}$）；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$．
则直线AB的解析式为：y=-2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=$\frac{3}{2}$，
故F（$\frac{3}{2}$，3）．
情况一：如图2，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得$\frac{AD}{FM}$=$\frac{HK}{HL}$．即$\frac{t}{\frac{3}{2}-t}$=$\frac{HK}{3-HK}$．
解得：HK=2t．
∴S_阴=S_△MND-S_△GNA-S_△HAD=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$（3-t）²-$\frac{1}{2}$t•2t=-$\frac{3}{2}$t²+3t．

情况二：如图3，当$\frac{3}{2}$＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得$\frac{AQ}{FP}$=$\frac{IQ}{IP}$．即$\frac{3-t}{t-\frac{3}{2}}$=$\frac{IQ}{3-IQ}$．
解得：IQ=2（3-t）．
∴S_阴=S_△IQA-S_△VQA=$\frac{1}{2}$×（3-t）×2（3-t）-$\frac{1}{2}$（3-t）²=$\frac{1}{2}$（3-t）²=$\frac{1}{2}$t²-3t+$\frac{9}{2}$．
综上所述：s=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-3t+\frac{9}{2}（\frac{3}{2}＜t≤3）}\end{array}\right.$．

点评 此题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．