Question

如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax²上。

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点。
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）将点A（-4，8）的坐标代入，解得a=， 将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2）， 则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2）， 直线AP的解析式是， 令y=0，得，即所求点Q的坐标是（，0）；

（2）①，故将抛物线向左平移个单位时， A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为， ②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短； 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2），因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短， 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），直线A′′B′′的解析式为，要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得，故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为。