Question

已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x₁、x₂、y₁、y₂满足x₁²+ax₂²=b，x₂y₁-x₁y₂=a，x₁y₁+ax₂y₂=c，则y₁²+ay₂²的值为

a3+c2

b

．

Answer 1

分析：∵x₁²+ax₂²=b①，x₂y₁-x₁y₂=a②，x₁y₁+ax₂y₂=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x₁、x₂表示出来，在讲将x₁、x₂的值代入①，通过化简就可以求出结论．

解答：解：∵x₁²+ax₂²=b①，x₂y₁-x₁y₂=a②，x₁y₁+ax₂y₂=c③．
由②，得
x2=

a+x1y2

y1

④，
把④代入③，得
x1=

cy1-a2y2

y 2 1 +a y 2 2

⑤
把⑤代入③，得
x2=

ay1+cy2

y 2 1 +a y 2 2

⑥
把⑤、⑥代入①，得
(

cy1-a2y2

y 2 1 +a y 2 2

)2+a(

ay1+cy2

y 2 1 +a y 2 2

)2=b
∴

(a3+c2) y 1 2 +(a3+c2) ay 2 2

( y 2 1 +a y 2 2 )2

=b，
∴（a³+c²）（y₁²+ay₂²）=b（y₁²+ay₂²）²
∴y₁²+ay₂²=

a3+c2

b

．
故答案为：

a3+c2

b

点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．