Question

16．如图，是二次函数 y=ax²+bx+c（ a≠0 ）的图象，则下列四个结论中正确的有几个？（　　）①abc＞0； ②b2＞4ac；③2c＜3b；④4a+2b+c＞0．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据判别式的意义可对②进行判断；利用x=-1得到a-b+c＜0，加上a=-$\frac{1}{2}$b，则可对③进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间，则x=2时，y＞0，于是可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以②正确；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
而a=-$\frac{1}{2}$b，
∴-$\frac{1}{2}$b-b+c＜0，
∴2c＜3b，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（-1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．