Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线AB： 交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．

（1）直线AB的表达式为______；

（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；

（3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S△PAB=n﹣1；（3）C（3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】试题分析：（1）把A的坐标代入直线AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐标；

（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAB的面积，二者的和即可求得；

（3）当S△ABP=2时， n﹣1=2，解得n=2，则∠OBP=45°，然后分A、B、P分别是直角顶点求解．

试题解析：（1）∵y＝﹣x+b经过A（0，1），

∴b=1，

∴直线AB的表达式为y=﹣x+1；

（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，

∵x=1时，y=﹣x+1= ，P在点D的上方，

∴PD=n﹣，S△APD=PDAM=，

由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，

∴S△BPD= PD×2=n﹣，∴S△PAB=S△APD+S△BPD= n﹣+n﹣= n﹣1；

（3）当S△ABP=2时， n﹣1＝2，解得n=2，

∴点P（1，2），

∵E（1，0），

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°；

第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，

过点C作CN⊥直线x=1于点N，

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°，

又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C（3，4）；

第2种情况，如图2，∠PBC=90°，BP=PC，

过点C作CF⊥x轴于点F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°．

又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C（5，2）；

第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=EB，

∴∠CPB=∠EBP=45°，

在△PCB和△PEB中，CP＝EB，∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，

∴△PCB≌△PEB（SAS），

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C（3，2）；

∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是：（3，4）或（5，2）或（3，2）．