Question

（2013•嘉定区二模）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线y=

1

2

x2+bx+c经过点A（-3，0）、C（0，-

3

2

）．
（1）求该抛物线顶点P的坐标；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四象限时，用含t的代数式表示△QAC的面积．

Answer 1

分析：（1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直线AP的解析式，然后表示出有关线段长，从而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ求解即可．

解答：解：（1）将A（-3，0）、C（0，-

3

2

）．代入y=

1

2

x2+bx+c得
 

(-3)2 2 -3b+c=0 c=- 3 2

   解得 

b=1 c=- 3 2

        
所以抛物线的表达式为y=

1

2

x²+x-

3

2

．
其顶点P的坐标为（-1，-2）．…（1分）
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H．
设直线AP的表达式为y=kx+b，
将A（-3，0）、P（1，-2）代入，得

-3k+b=0 -k+b=-2

，解得

k=-1 b=-3

．
∴y=-x-3．
进而可得G（0，-3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，
在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°=

3 2

4

．
在Rt△AOG中，AG=

OG

cos45°

=3

2

，
∴AH=AG-HG=

9 2

4

∴tan∠CAP=

CH

AH

=

1

3

．

（3）设Q（t，

1

2

t²+t-

3

2

），
由Q在第四象限，得|t|=t，|

1

2

t²+t-

3

2

|=-

1

2

t²-t+

3

2

）．
联结OQ，易得 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ．
∵S_△AOC=

1

2

×|-3|×|-

3

2

|=

9

4

，S_△QOC=

1

2

×|-

3

2

|×t=

3

4

t，
S_△AOQ=

1

2

×|-3|×|

1

2

t²+t-

3

2

|=-

3

4

t²-

3

2

t+

9

4

，
∴S_△QAC=

9

4

+

3

4

t-（-

3

4

t²-

3

2

t+

9

4

）=

3

4

t²+

9

4

t．

点评：此题主要考查了二次函数的综合题目，利用一般式求二次函数解析式及解直角三角形是考查的重点内容，同学们应学会应用．