Question

（2013•嘉定区二模）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O₁，射线AO₁交半圆O于点B，联结OC．

（1）如图1，求证：AB∥OC；
（2）如图2，当点B与点O₁重合时，求证：

AB

=

CB

；
（3）过点C作射线AO₁的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O₁B=1时，求

CF

AF

的值．

Answer 1

分析：（1）利用对称性得出∠OAC=∠O₁AC，再利用等边对等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O₁AC，求出AB∥OC即可；
（2）由点O₁与点O关于直线AC对称，AC⊥OO₁，由点O₁与点B重合，可得AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB=CB；
（3）分别根据当点O₁在线段AB上以及当点O₁在线段AB的延长线上时分别求出AE的长即可得出答案．

解答：解：（1）∵点O₁与点O关于直线AC对称，
∴∠OAC=∠O₁AC．
在⊙O中，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C．
∴∠C=∠O₁AC，
∴O₁A∥OC，
即AB∥OC；

（2）方法一：如图2，连结OB．
∵点O₁与点O关于直线AC对称，AC⊥OO₁，
由点O₁与点B重合，可得AC⊥OB．
∵点O是圆心，AC⊥OB，
∴AB=CB，

方法2：∵点O₁与点O关于直线AC对称，
∴AO=AO₁，CO=CO₁，
由点O₁与点B重合，可得 AO=AB，CB=CO，
∵OA=OC，
∴AB=CB．
∴AB=CB，

（3）当点O₁在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁+O₁B=AO+O₁B=6，
又∵OH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=3．
∴AE=EH+AH=5+3=8，
∵AB∥OC，
∴

CF

AF

=

OC

AE

=

5

8

，
当点O₁在线段AB的延长线上，如图4，
过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO₁-O₁B=AO-O₁B=4，
又∵OH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=2．
∴AE=EH+AH=5+2=7，
∵AB∥OC，
∴

CF

AF

=

CO

AE

=

5

7

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．