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(2013•嘉定区二模)如图,点E是正方形ABCD边BC上的一点(不与B、C重合),点F在CD边的延长线上,且满足DF=BE.联结EF,点M、N分别是EF与AC、AD的交点.
(1)求∠AFE的度数;
(2)求证:
CE
CM
=
AC
FC
分析:(1)由四边形ABCD是正方形,可得∠B=∠ADC=∠BAD=90°,AB=AD,易证得ABE≌△ADF(SAS),然后由全等三角形的性质,可求得AE=AF,∠BAE=∠DAF,继而可求得答案;
(2)由四边形ABCD是正方形,易证得△ABE∽△ADF,然后由相似三角形的对应边成比例,证得:
CE
CM
=
AC
FC
解答:解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°,AB=AD.…(1分)
在△ABE和△ADF中,
BE=DF
∠B=∠ADF=90°
AB=AD

∴ABE≌△ADF(SAS).…(1分)
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.…(1分)
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.…(1分)
∵AE=AF,
∴∠AFE=∠AEF.
∴∠AFE=∠AEF=
1
2
×90°=45°.…(1分)

(2)方法1:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=45°.…(1分)
∵∠AEF=45°,
∴∠AEF=∠ACF.…(1分)
又∵∠AME=∠FMC,…(1分)
∴△ABE∽△ADF,…(2分)
CE
CM
=
AC
FC
.…(1分)
方法2:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠ACD=45°.…(1分)
∵△ABE≌△ADF,
∴∠AEB=∠AFD.…(1分)
∵∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+∠CAE,∠AFD=∠AFE+∠CFM=45°+∠CFM,
∴∠CAE=∠CFM.…(2分)
又∵∠ACB=∠ACD,△ACE∽△FCM.…(1分)
CE
CM
=
AC
FC
.…(1分)
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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(2013•嘉定区二模)已知AP是半圆O的直径,点C是半圆O上的一个动点(不与点A、P重合),联结AC,以直线AC为对称轴翻折AO,将点O的对称点记为O1,射线AO1交半圆O于点B,联结OC.

(1)如图1,求证:AB∥OC;
(2)如图2,当点B与点O1重合时,求证:
AB
=
CB

(3)过点C作射线AO1的垂线,垂足为E,联结OE交AC于F.当AO=5,O1B=1时,求
CF
AF
的值.

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2
x-1
+
2
x+2
=1.

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(2013•嘉定区二模)计算:6
1
3
=
6
2
3
6
2
3
(结果表示为幂的形式).

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1
2
x
2
+bx+c
经过点A(-3,0)、C(0,-
3
2
).
(1)求该抛物线顶点P的坐标;
(2)求tan∠CAP的值;
(3)设Q是(1)中所求出的抛物线的一个动点,点Q的横坐标为t,当点Q在第四象限时,用含t的代数式表示△QAC的面积.

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