Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OC⊥AB，AC=5，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）根据圆周角定理得∠COB=2∠A=60°，则可判断△OBC为等边三角形，所以∠OCB=60°，则∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，于是可根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）根据垂径定理由OC⊥AB得到弧AC=弧BC，则AC=BC=5，而△OBC为等边三角形，所以OC=5，∠COB=60°，在Rt△OCD中根据含30度的直角三角形三边的关系可得到CD=2OC=10．

解答：解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
∵∠COB=2∠A=2×30°=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC=5，
∵△OBC为等边三角形，
∴OC=5，∠COB=60°，
在Rt△OCD中，∠D=30°，
∴CD=2OC=10．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理．