Question

12．如图，在直角坐标中，⊙0的半径为2，圆心是原点，点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），P是⊙0上的动点，连接AP，当∠OAP最大时，则点P坐标为（2，0）或（-1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可知当∠OAP最大时，则AP和圆相切，由此即可求出满足题意的点P坐标．

解答 解：∵点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），
∴AO=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
由题意当∠OAP最大时，则AP和圆相切，过点A作圆的切线AP′，AP″，连接OP′，过P′作P′B⊥OP″，
∵点A的横坐标为2，OP″⊥AP″，
∴P″的坐标为（2，0）；
∵AO=4，OP′=2，
∴∠P′AO=30°，
∴∠BP′O=30°，
∵P′O=2，
∴BO=1，
∴P′B=$\sqrt{3}$，
∴点P″的坐标为（-1，$\sqrt{3}$），
综上可知，点P的坐标为（2，0）或（-1，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理的运用、特殊角的三角函数值，解题的关键是确定点P的位置，做到不重不漏．