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【题目】如图在等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,P△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=.∠CPA的度数

【答案】135°

【解析】由于△ABC为等腰直角三角形,AB=AC,则把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C,连PP′,根据旋转的性质得到∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3,得到△PAP′为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得P′P=PA=,∠APP′=45°,在△P′PC中,可得到PC2+P′P2=P′C2,根据勾股定理的逆定理得到△P′PC为直角三角形,∠CPP′=90°,利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′进行计算即可.

∵△ABC为等腰直角三角形,AB=AC,

∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C,连PP′,如图,
∴∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3,
∴△PAP′为等腰直角三角形,
∴P′P=PA=,∠APP′=45°,
在△P′PC中,P′C=3,P′P=,PC=
∵(2+(2=32
∴PC2+P′P2=P′C2
∴△P′PC为直角三角形,∠CPP′=90°,
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°.

“点睛”本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质.

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