Question

15．已知y=y₁-y₂，y₁与x²成正比例，y₂与x-1成反比例，当x=-1时，y=3；当x=2时，y=-3．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）当x=$\sqrt{2}$时，求y的值．

Answer 1

分析 （1）根据正比例和反比例的定义，设y₁=ax²，y₂=$\frac{b}{x-1}$，则y=ax²-$\frac{b}{x-1}$，再把两组对应值代入得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可得到y与x之间的函数关系；
（2）计算自变量为$\sqrt{2}$的函数值即可．

解答 解：（1）设y₁=ax²，y₂=$\frac{b}{x-1}$，则y=ax²-$\frac{b}{x-1}$，
把x=-1，y=3；x=2，y=-3分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{2}b=3}\\{4a-b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以y与x之间的函数关系为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{x-1}$；
（2）当x=$\sqrt{2}$时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{x-1}$=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²-$\frac{5}{\sqrt{2}-1}$=1-5（$\sqrt{2}$+1）=-5$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．