Question

3．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象顶点为A与x轴交于B，C两点，若△ABC是等腰直角三角形，则b²-4ac=4．

Answer 1

分析 由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²-4ac＞0；可求得线段BC的表达式，利用公式法可得到顶点A的纵坐标，然后根据等腰直角三角形的性质得到$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=$\frac{{b}^{2}-4ac}{2}$，从而可求出b²-4ac的值．

解答 解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵BC=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$，
又∵点A的纵坐标的绝对值=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{4|a|}$（a≠0），
∴$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=$\frac{{b}^{2}-4ac}{2}$，即 b²-4ac=$\frac{{（b}^{2}-4ac）^{2}}{4}$．
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．
故答案为；4．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．