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【题目】已知抛物线Cy(x2)[t(x1)(x3)],其中-7≤t≤2,且无论t 取任何符合条件的实数,点AP 都在抛物线C .

1)当t=-5时,求抛物线C 的对称轴;

2)当-60≤n≤30 时,判断点(1n)是否在抛物线C上, 并说明理由;

3)如图,若点Ax轴上,过点A作线段AP的垂线交y轴于点B,交抛物线C于点D,当点D的纵坐标为m时,求SPAD的最小值.

【答案】(1)当t=-5时,求抛物线C 的对称轴为x=-

(2)当-60≤n<-54时,点(1,n)不在抛物线C上,当-54≤n≤-30时,点(1,n)在抛物线C上,理由见解析;

(3)S△PAD的最小值为

【解析】试题分析:(1)t5代入y(x2)[t(x1)(x3)],求出函数解析式,在根据对称轴x=计算得出;(2) 假设1n)在抛物线上,将点(1n)代入解析式,得n6t12,在根据7≤t≤2, 得出当-60≤n<-54时,点(1n)不在抛物线C上; 当-54≤n≤30时,点(1n)在抛物线C;(3) 根据点A是抛物线与x轴的交点, P在抛物线C , 求出A(-20),P(-1,-2, 过点PPNx轴于点N证△PAN≌△ABO, 得到BO1, PAAB,过点DDMx轴于点M证△DAM∽△BAO,SPAD,m取最小值-时, SPAD的最小值为

试题解析:

1)当t5时,y=-6x220x16

=-

∴对称轴为x=-

2)若(1n)在抛物线上,

将点(1n)代入解析式,得

n6t12

7≤t≤2

54≤n≤24

60≤n≤30

当-60≤n<-54时,点(1n)不在抛物线C上;

当-54≤n≤30时,点(1n)在抛物线C.

3)由题得A(-20),P(-1,-2).

过点PPNx轴于点N,可得

PNAO2PNAAOB90°

PAAB

PANBAO90°

又∵ ABOBAO90°

PANABO

△PAN≌△ABO

BO1

PAAB

过点DDMx轴于点M,可得

DMABOA90°

又∵ DAMBAO

DAM∽△BAO

AD

SPADAPAD

A(-20),B01),

直线AB的解析式为yx1

ym时,x2m1

把点D2m1m)代入抛物线C的解析式,得t1

7≤t≤2

≤m≤

m0

SPAD (m )

0

SPADm的增大而增大.

m取最小值-时, SPAD的最小值为

点睛:以二次函数为背景的几何图形变换问题,其核心思想方法主要有分类讨论思想,函数与方程思想,树形结合思想,转化思想,待定系数法,配方法等,要用运动和变化的眼光去观察,研究图形,抓住其中的等量关系和变量关系,综合分析问题 和解决问题的能力.

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