Question

10．已知抛物线C₁：y=-$\frac{1}{4}$x²-（a+1）x-a²-4a-1交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C．
（1）求证：不论a为何实数值，顶点C总在同一条直线上；
（2）若∠ACB=90°，求此时抛物线C₁的解析式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C₁沿y轴负方向平移2个单位得到抛物线C₂，直线y=kx-2k+1交抛物线C₂于E、F两点（点E在点F的左边），交抛物线C₂的对称轴于点N，M（x_E，3），若MN=ME，求$\frac{NF}{NE}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法确定顶点坐标，取a=0或-1得到两个点，求出经过这两个点的直线的解析式，证明顶点在这条直线上即可．
（2）根据题意写出点B坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）思想确定点N坐标，作FP⊥对称轴于P，EQ⊥对称轴于Q，设M（m，3），则E（m，-$\frac{1}{4}$m²+m+1），列出方程求出m的值，再求出E、F两点坐标即可解决问题．

解答 （1）证明：配方得y=-$\frac{1}{4}$（x+2+2a）²-2a，
∴顶点C坐标为（-2-2a，-2a），
当a=0时，顶点为（-2，0），当a=-1时，顶点为（0，2），
设经过（-2，0），（0，2）两点的直线为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为y=x+2，
∵x=-2-2a时，y=-2a，
∴不论a为何实数值，顶点C总在直线y=x+2上．

（2）解：由题意B（-2-4a，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²-（a+1）x-a²-4a-1，
得到，0=-$\frac{1}{4}$（-2-4a）²-（a+1）（-2-4a）-a²-4a-1，
整理得，a²+2a=0，
解得a=-2或0，
a=0时，抛物线为y=-$\frac{1}{4}$x²-x-1，与x轴只有一个交点，不合题意舍弃．
∴a=-2，此时抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3．

（3）解：由题意抛物线C₂：y=-$\frac{1}{4}$x²+x+1=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+2，
∴顶点为（2，2），
∵直线y=kx-2k+1，经过定点（2，1），
点（2，1）在对称轴上，
∴点N坐标为（2，1），
作FP⊥对称轴于P，EQ⊥对称轴于Q，设M（m，3），则E（m，-$\frac{1}{4}$m²+m+1），
∵MN=ME，
∴3-（-$\frac{1}{4}$m²+m+1）=$\sqrt{（m-2）^{2}+{2}^{2}}$，
解得m=2-2$\sqrt{3}$（不符合题意的根已经舍弃），
∴点E（2-2$\sqrt{3}$，-1）代入y=kx-2k+1得到k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+x+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴点F（2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{5}{3}$），
∴EQ=2$\sqrt{3}$，PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵EQ∥PF，
∴$\frac{NF}{EN}$=$\frac{PF}{EQ}$，
∴$\frac{NF}{EN}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．