Question

【题目】某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，

∵∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ，

在△APD和△CQD中，

，

∴△APD≌△CQD（ASA），

∴AP=CQ

（2）解；PE=QE，理由如下：

由（1）得：△APD≌△CQD，

∴PD=QD，

∵DE平分∠PDQ，

∴∠PDE=∠QDE，

在△PDE和△QDE中，

，

∴△PDE≌△QDE（SAS），

∴PE=QE

（3）解：由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1，

∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，

设PE=QE=x，则BE=5﹣x，

在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2=x2，

解得：x=3.4，

即PE的长为3.4

【解析】（1）由正方形的性质得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，证出∠ADP=∠CDQ，由ASA证明△APD≌△CQD，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出PD=QD，证出∠PDE=∠QDE，由SAS证明△PDE≌△QDE，得出对应边相等即可；（3）由（2）和（1）得出PE=QE，CQ=AP=1，求出BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，设PE=QE=x，则BE=5﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．