Question

4．在Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高，求证：以$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{h}$为三边长的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析 根据勾股定理，可用a、b表示，根据三角形的面积，可用a、b表示h，根据勾股定理的逆定理，可得答案．

解答 证明：∵Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$．
∵三角形的面积，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$h，
∴h=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
∵（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{1}{b}$）²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$，（$\frac{1}{h}$）²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$，
（$\frac{1}{a}$）²+（$\frac{1}{b}$）²=（$\frac{1}{h}$）²，
∴以$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{h}$为三边长的三角形是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，利用三角形的面积得出h=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$是解题关键．