Question

【题目】已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．
（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；

（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发．
①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
②如图3，连接PC，请你猜想：在点P，Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，

∠BPC=90°，所以BP=1.5cm，

所以t=

（2）

解：①∵∠DCQ=120°，

当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，

∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°，

∵∠A=60°，

∴AD=2AP，

∴2t+t=3，

解得t=1（s）；

②相等，如图所示：

作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，

∴∠G=∠AEP，

在△EAP和△GCQ， ，

∴△EAP≌△GCQ（AAS），

∴PE=QG，

∴△PCD和△QCD同底等高，

所以面积相等

【解析】（1）当△PBC是直角三角形时，∠B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）①因为∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ，然后可证明△APD是直角三角形，即可根据题意求出t的值；②面积相等．可通过同底等高的三角形的面积相等即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)的相关知识才是答题的关键．