Question

15．解方程$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$．

Answer 1

分析 首先将无理方程整理为整式方程，进而利用因式分解法分解因式，再利用换元法求出x的值，进而检验得出．

解答 解：把$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$移到等号的左边，然后两边平方的得到：x²+x-$\frac{1}{x}$-2x$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$=1-$\frac{1}{x}$，
整理得：x²+x-1=2x$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$，
再平方，得：x⁴+x²+1-2x+2x³-2x²=4x³-4x；
整理得：x⁴-2x³-x²+2x+1=0
则（x-1）x（x+1）（x-2）=-1．
分组展开，前两项一组，后两项一组，展开后得 （x²-x）（x²-x-2）=-1
令 a=x²-x
则原方程化为 a（a-2）=-1
即 a²-2a+1=0
a₁=a₂=1
所以 x²-x=1
解得 x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
将x₂带回原方程$\sqrt{1-\frac{1}{x}}$=x-$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$，发现x-$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$＜0，方程不成立，
而x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$能使原方程成立，
所以原方程的解为：x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题主要考查了无理方程的解法，正确转化方程形式是解题关键．