Question

14．已知矩形ABCD中，对角线交于点O，AB=6cm，BC=8cm．P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值是多少？这个值会不会随着点P的一定（不与A、C重合）而改变呢？请说明理由．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出BD，再证明△APE∽△DBA，△DPF∽△DBA，得出比例式，求出PE+PF=$\frac{3}{5}$AD．

解答 解：PE+PF=$\frac{24}{5}$；这个值不会改变；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=8cm，OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠AEP=∠DFP=90°，
∴△APE∽△DBA，△DPF∽△DBA，
∴$\frac{PE}{AB}=\frac{PA}{BD}$，$\frac{PF}{AB}=\frac{PD}{BD}$，
即$\frac{PE}{6}=\frac{PA}{10}$，$\frac{PF}{6}=\frac{PD}{10}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$PA，PF=$\frac{3}{5}PD$，
∴PE+PF=$\frac{3}{5}$（PA+PD）=$\frac{3}{5}$×8=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键