【题目】如图1所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2 . 已知y与t的函数关系图象如图2;(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段),则下列结论:
①当0<t≤5时,y= t2;②当t=6秒时,△ABE≌△PQB;③cos∠CBE=
;④当t=
秒时,△ABE∽△QBP;
其中正确的是( )
A.①②
B.①③④
C.③④
D.①②④
【答案】D
【解析】解:根据图(2)可得,点Q到达点E时时间是5秒,点P到达点E时间为10秒,
∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒
∴BC=BE=10,
∴AD=BC=10.
又∵从M到N的变化是4,
∴ED=4,
∴AE=AD﹣ED=10﹣4=6.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,
∴cos∠1=cos∠2= =
=
.
故③错误;
如图1,过点P作PF⊥BC于点F,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,
∴sin∠1=sin∠2= =
=
,
∴PF=PBsin∠1= t,
∴当0<t≤5时,y= BQPF=
×2t×
t=
t2 , 故①正确;
如图3,
当t=6秒时,点P在BE上,点Q静止于点C处.
在△ABE与△PQB中, ,
∴△ABE≌△PQB(SAS).
故②正确;
如图4,
当t= 秒时,点P在CD上,此时,PD=
﹣BE﹣ED=
﹣10﹣4=
,
PQ=CD﹣PD=8﹣ =
,
∵ =
=
,
=
=
,
∴ =
又∵∠A=∠Q=90°,
∴△ABE∽△QBP,故④正确.
综上所述,正确的结论是①②④.
故选D.
【考点精析】通过灵活运用函数的图象,掌握函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成;图像上每一点坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,他的横坐标x表示自变量的某个值,纵坐标y表示与它对应的函数值即可以解答此题.
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【题目】如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A、B、C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高1.6米,则凉亭的高度AB约为( )
A.8.5米
B.9米
C.9.5米
D.10米
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【题目】如图,已知二次函数y= x2﹣4的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,⊙C的半径为
,P为⊙C上一动点.
(1)点B,C的坐标分别为B(),C();
(2)是否存在点P,使得△PBC为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接PB,若E为PB的中点,连接OE,则OE的最大值= .
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,点E在边BC上,AE=BE,点M是AE的中点,联结CM,点G在线段CM上,作∠GDN=∠AEB交边BC于N.
(1)如图2,当点G和点M重合时,求证:四边形DMEN是菱形;
(2)如图1,当点G和点M、C不重合时,求证:DG=DN.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | … |
y | … | ﹣3 | 1 | 3 | 1 | … |
则下列判断正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0
D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
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【题目】如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A( ,0)与点B(0,﹣
),点D在劣弧
上,连接BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO.
(1)求⊙M的半径;
(2)求证:BD平分∠ABO;
(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰好为⊙M的切线,求此时点E的坐标.
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【题目】如图,等腰直角三角形OAB的一条直角边在y轴上,点P是边AB上的一个动点,过点P的反比例函数y= 的图象交斜边OB于点Q,
(1)当Q为OB中点时,AP:PB=
(2)若P为AB的三等分点,当△AOQ的面积为 时,k的值为
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【题目】如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于点P(m,﹣1)和Q(1,2)两点,记一次函数与坐标轴的交点分别为A,B,连接OP,OQ.
(1)求两函数的解析式;
(2)求证:△POB≌△QOA.
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