Question

【题目】如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若⊙O半径为1，BC=，求AE的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）连接OB，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，通过证明△ODC≌△OBC可得∠OBC=∠D=90°，即可得出BC为圆O的切线．

（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得△ABD是直角三角形，由C为AD的中点得AD=3，再根据勾股定理可求出AE的长.

详解：（1）证明：连接OB

∵点O，C分别是DE，AD的中点，

∴CO∥AE.

∴∠OEB=∠DOC，∠OBE=∠BOC.

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠DOC=∠BOC.

∵OB=OD，OC=OC，

∴△ODC≌△OBC .

∴∠D=∠OBC.

∵AD是⊙O的切线，DE是⊙O的直径，

∴∠D=90°.

∴∠OBC=90°，即 OB⊥BC.

∴BC是⊙O切线 .

（2）连接BD，

∵DE是⊙O的直径，

∴∠DBE=90°.

在Rt△ABD中，C为AD的中点，

∴BC=AD=.

∴AD=3.

在Rt△ADE中，