Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（-5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第一象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向左平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；

（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2-4x+5；（2）m的值为7或9；（3）Q点的坐标为（2，﹣7）或（-6，﹣7）或（-4，5）．

【解析】分析：（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；

（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△BEF，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（1，0），B（-5，0）两点，

∴，解得.

抛物线解析式为y=﹣x2-4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8.∴C（6，8）.

设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8.

代入抛物线解析式可得8=﹣x2-4x+5，

解得x=-1或x=-3.

∴C′点的坐标为（-1，8）或（-3，8）.

∵C（6，8），∴当点C落在抛物线上时，向左平移了7或9个单位，

∴m的值为7或9；

（3）∵y=﹣x2-4x+5=﹣（x+2）2+9，

∴抛物线对称轴为x=-2.

由（2）可知E点坐标为（-1，8）.

设P（-2，t），

①当BE为平行四边形的一边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则∠BEF=∠BMP=∠QPN.

∵∠BEF=∠QNP=90°,BE=QP,

∴△EFB≌△PQN.

∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4.

设Q（x，y），则QN=|x+2|，

∴|x+2|=4，解得x=2或x=-6.

当x=2或x=-6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，

∴Q点坐标为（2，﹣7）或（-6，﹣7）；

②当BE为对角线时，∵B（-5，0），E（-1，8），

∴线段BE的中点坐标为（-3，4），则线段PQ的中点坐标为（-3，4）.

设Q（x，y），且P（-2，t），

∴x-2=-3×2，解得x=4，

把x=-4代入抛物线解析式可求得y=5.

∴Q（-4，5）；

综上可知Q点的坐标为（2，﹣7）或（-6，﹣7）或（-4，5）．