【题目】如图,已知数轴上有三点A、B、C,若用AB表示A、B两点的距离,AC表示A、C两点的距离,且AB=AC,点A、点C对应的数是分别是a、c,且|a+40|+|c﹣20|=0.
(1)求BC的长.
(2)若点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动,速度分别为2个单位长度每秒、5个单位长度每秒,则运动了多少秒时,Q到B的距离与P到B的距离相等?
(3)若点P、Q仍然以(2)中的速度分别从A、C两点同时出发向左运动,2秒后,动点R从A点出发向右运动,点R的速度为1个单位长度每秒,点M为线段PR的中点,点N为线段RQ的中点,点R运动了多少秒时恰好满足MN+AQ=31;并求出此时R点所对应的数.
【答案】(1)BC=40;(2)运动了秒或20秒时,Q到B的距离与P到B的距离相等;(3)点R运动了秒或秒时恰好满足MN+AQ=31,此时点R所对应的数为﹣或﹣.
【解析】
(1)由绝对值的非负性可求出a,c的值,进而可得出线段AC的长,结合AB= AC可求出AB的长,由BC=AC-AB可求出线段BC的长;
(2)由AB的长结合点A对应的数可求出点B对应的数,当运动时间为t秒时,点P对应的数为-2t-40,点Q对应的数为-5t+20,由Q到B的距离与P到B的距离相等,可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论;
(3)当运动时间为t(t>2)秒时,点P对应的数为-2t-40,点Q对应的数为-5t+20,点R对应的数为t-2-40,结合点M为线段PR的中点及点N为线段RQ的中点可得出点M,N对应的数,进而可得出线段MN的长,结合MN+AQ=31可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论.
(1)∵|a+40|+|c﹣20|=0,
∴a+40=0,c﹣20=0,
∴a=﹣40,c=20,
∴AC=|﹣40﹣20|=60.
∵AB=AC=20,
∴BC=AC﹣AB=40.
(2)∵AB=20,点A对应的数为﹣40,且点B在点A的右边,
∴点B对应的数为﹣20.
当运动时间为t秒时,点P对应的数为﹣2t﹣40,点Q对应的数为﹣5t+20,
∵Q到B的距离与P到B的距离相等,
∴|﹣2t﹣40﹣(﹣20)|=|﹣5t+20﹣(﹣20)|,即2t+20=40﹣5t或2t+20=5t﹣40,
解得:t=或t=20.
答:运动了秒或20秒时,Q到B的距离与P到B的距离相等.
(3)当运动时间为t(t>2)秒时,点P对应的数为﹣2t﹣40,点Q对应的数为﹣5t+20,点R对应的数为t﹣2﹣40,
∵点M为线段PR的中点,点N为线段RQ的中点,AQ=|﹣40﹣(﹣5t+20)|=|5t﹣60|,
∴点M对应的数为=﹣﹣41,点N对应的数为=﹣2t﹣11,
∴MN=|﹣﹣41﹣(﹣2t﹣11)|=|t﹣30|.
∵MN+AQ=31,
∴|t﹣30|+|5t﹣60|=31.
当2<t<12时,30﹣t+60﹣5t=31,
解得:t=;
当12≤t≤20时,30﹣t+5t﹣60=31,
解得:t=;
当t>20时,t﹣30+5t﹣60=31,
解得:t=(不合题意,舍去).
∴t﹣2=﹣或﹣.
当t=时,点R对应的数为﹣;当t=时,点R对应的数为﹣.
∴点R运动了秒或秒时恰好满足MN+AQ=31,此时点R所对应的数为﹣或﹣.
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【题目】已知m,n是实数,定义运算“*”为:m*n=mn+n.
(1)分别求4*(﹣2)与4*的值;
(2)若关于x的方程x*(a*x)=﹣有两个相等的实数根,求实数a的值.
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【题目】武胜县白坪—飞龙乡村旅游度假村橙海阳光景点组织辆汽车装运完三种脐橙共吨到外地销售.按计划,辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题:
脐橙品种 | |||
每辆汽车运载量(吨) | |||
每吨脐橙获得(元) |
设装运种脐橙的车辆数为,装运种脐橙的车辆数为,求与之间的函数关系式;
如果装运每种脐橙的车辆数都不少于辆,那么车辆的安排方案有几种?
设销售利润为(元),求与之间的函数关系式;若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.
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【题目】(8分)快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发,匀速行驶,先相向而行,快车到达乙地后,停留1小时,然后按原路原速返回,快车比慢车晚1小时到达甲地,快、慢两车距各自出发地的路程y(千米)与出发后所用的时间x(小时)的关系如图.
请结合图象信息解答下列问题:
(1)慢车的速度是 千米/小时,快车的速度是 千米/小时;
(2)求m的值,并指出点C的实际意义是什么?
(3)在快车按原路原速返回的过程中,快、慢两车相距的路程为150千米时,慢车行驶了多少小时?
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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣5ax﹣4交x轴于A,B两点(点A位于点B的左侧),交y轴于点C,过点C作CD∥AB,交抛物线于点D,连接AC、AD,AD交y轴于点E,且AC=CD,过点A作射线AF交y轴于点F,AB平分∠EAF.
(1)此抛物线的对称轴是 ;
(2)求该抛物线的解析式;
(3)若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点,求△APF面积S△APF的最大值,以及此时点P的坐标;
(4)点M是线段AB上一点(不与点A,B重合),点N是线段AD上一点(不与点A,D重合),则两线段长度之和:MN+MD的最小值是 .
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【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知∠ABC=60°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)求证:△ABC≌△EAF;
(2)试判断四边形EFDA的形状,并证明你的结论.
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【题目】中国“蛟龙” 号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米.如图,某天该深潜器在海面下2000米的A点处作业测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子C信号发出,该深潜器受外力作用可继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为45°正前方的海底有黑匣子C信号发出,请通过计算判断“蛟龙”号能否在保证安全的情况下打捞海底黑匣子C.(参考数据≈1.732)
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(1,0),B(-5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第一象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,连接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向左平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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