Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，

在△AEO和△CFO中， ，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形

（2）解：∵四边形AFCE是菱形，

∴AF=CF，

设AF=CF=x，则BF=4﹣x，

在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，

即x2=32+（4﹣x）2，

解得 x= ，

∴菱形AFCE的边长为

【解析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；（2）设AF=CF=x，则BF=4﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．