Question

1．如图，A是优弧BC的中点，弦AE的延长线与BC的延长线交于D，求证：AB²=AE•AD．

Answer 1

分析 连接AC，CE，由A是优弧BC的中点，得到$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，等量代换得到∠ACB=∠DEC，由邻补角的定义得到∠ACB+∠ACD=∠AEC+∠DEC=180°，于是得到∠AEC=∠ACD，知道△ACE∽△ADC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：连接AC，CE，
∵A是优弧BC的中点，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠DEC=∠B，
∴∠ACB=∠DEC，
∵∠ACB+∠ACD=∠AEC+∠DEC=180°，
∴∠AEC=∠ACD，
∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}$，
∴AC²=AE•AD，
∴AB²=AE•AD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．