Question

15．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，已知⊙O的半径为2，CD=2$\sqrt{3}$．
（1）求弦AC的长；
（2）此圆周上到直线AC的距离为1的点有几个？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）作OF⊥AC于F，连接OC，则AF=CF，由垂径定理得出CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出OH，求出∠COH=60°，由圆周角定理得出∠OAC=30°，OF=$\frac{1}{2}$OA=1，得出AC=2AF=2$\sqrt{3}$即可；
（2）延长OF交⊙O于M点，由OF=1，得出MF=1；另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K，由OF=1，得出点N、K到直线AC的距离为1，即可得出结果．

解答 解：（1）作OF⊥AC于F，连接OC，如图1所示：
则AF=CF，
∵CD⊥AB于H，∴CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCH中，
∵OH=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴∠OCH=30°，∠COH=60°，
∴∠OAC=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴AC=2AF=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
（2）此圆周上到直线AC的距离为1的点共有三个，理由如下：
如2图所示：
其一是延长OF交⊙O于M点，
∵OF=1，
∴MF=1；
另外过O点作AC的平行线交⊙O于点N、K，
∵OF=1，
∴点N、K到直线AC的距离为1．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理和圆周角定理，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．