Question

7．如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC边于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且∠BDE=∠CBE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）延长ED交直线AB于点P，如图2，若PA=AO，DE=3，DF=2，求$\frac{PD}{DE}$的值及AO的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可知∠BAE+∠EBA=90°，由∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，所以∠EBA+∠EBC=90°．
（2）易证OD∥DE，从而可知$\frac{PD}{DE}=\frac{PO}{OB}$，易证△EDF∽△BDE，DE²=DF•DB，从而可求出DB的长度，由勾股定理可知AB的长度．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠BAE+∠EBA=90°，
∵∠BAE=∠BDE，∠BDE=∠CBE，
∴∠EBA+∠EBC=90°，
∴BC是⊙O的切线，

（2）连接OD，
∵BD平分∠ABE，
∴∠OBD=∠EBD，
∵∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD∥BE，
∵PA=AO
∴$\frac{PD}{DE}=\frac{PO}{OB}=2$，
∵∠DEF=∠DBA，
∴∠DEF=∠EBD，
∵∠EDF=∠EDB，
∴△EDF∽△BDE，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{DB}{DE}$，
∴DE²=DF•DB，
∴DB=$\frac{9}{2}$，
∴由勾股定理可知：AB²=AD²+BD²，
∴AB=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
∴AO=$\frac{3\sqrt{13}}{4}$

点评 本题考查元的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，切线的判定，圆周角定理、勾股定理等知识，综合程度较高，需要灵活运用所学知识．