如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A.B两点.交y轴于点C.直线y=x分别交抛物线于D.E.连接BD.且OD=4$\sqrt{2}$.OB=4(1)求抛物线的解析式,(2)点P为线段BD上方抛物线上一点.过点P作y轴的平行线交直线DE于N．设P点的横坐标为m.线段PN的长为d.求d与m的函数关系式,的条件下.过点B作BG⊥DE.垂足为G.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，直线y=x分别交抛物线于D、E，连接BD，且OD=4$\sqrt{2}$，OB=4
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BD上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交直线DE于N．设P点的横坐标为m，线段PN的长为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点B作BG⊥DE，垂足为G，过点P作PH⊥BD，垂足为H，若GH=GP．求点点P的坐标．

分析（1）首先确定D、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组求出点E坐标，分两种情形即可解决问题；
（3）延长PG交BD于F，作PM∥y轴交BD于M，GN∥y轴交BD于N，交AB于K．由△OBG是等腰三角形，易知G（2，2），直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，首先证明PM=2GN，易知N（2，-1），GN=3，推出PM=6=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6）-（$\frac{1}{2}$m-2）=6，解方程即可解决问题．

解答解：（1）∵D在直线y=x上，OD=4$\sqrt{2}$，
∴D（-4，-4），
∵OB=4，
∴B（4，0），
把D（-4，-4），B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-8-4b+c=-4}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+6．

（2）由题意P（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6），N（m，m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴E（3，3），
①当-4＜m≤3时，d=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6-m=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m+6，
②当3＜m＜4时，d=m-（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6）=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m-6，

（3）延长PG交BD于F，作PM∥y轴交BD于M，GN∥y轴交BD于N，交AB于K．
∵D（-4，-4），B（4，0），
∵△OBG是等腰三角形，易知G（2，2），
直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵PG=GH，
∴∠GPH=∠GHP，
∵∠GPH+∠PFH=90°，∠GHF+∠GHP=90°，
∴∠GHF=∠GFH，
∴HG=GP=FG，
∵GN∥PM，
∴MN=FM，
∴PM=2GN，
易知N（2，-1），GN=3，
∴PM=6=（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m+6）-（$\frac{1}{2}$m-2）=6，
解得m=2或-2，
∴P（2，5）或（-2，3）．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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