Question

3．已知关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+2k=0，有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x₁，x₂满足x₁•x₂-x₁²-x₂²=-16，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（2k+3）²-4（k²+2k）＞0，然后解不等式即可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k+3，x₁x₂=k²+2k，再利用完全平方公式把x₁•x₂-x₁²-x₂²=-16变形为（x₁+x₂）²-3x₁x₂-16=0，则（2k+3）²-3（k²+2k）-16=0，然后解方程求出满足条件的k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2k+3）²-4（k²+2k）＞0，
解得k＞-$\frac{9}{4}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=2k+3，x₁x₂=k²+2k，
因为x₁•x₂-x₁²-x₂²=-16，
所以x₁•x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-16，即[（x₁+x₂）²-3x₁x₂-16=0，
所以（2k+3）²-3（k²+2k）-16=0，
解得k₁=-7，k₂=1，
而k＞-$\frac{9}{4}$，
所以k=1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．