Question

5．如图所示，已知△ABC面积为l，点D、E、F分别在BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R，则△PQR的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{7}$
• D． $\frac{1}{14}$

Answer 1

分析 连接BR，设△CDR的面积为a，△BRF的面积为b，利用S_△CDR+S_△BDR+S_△BRF=$\frac{1}{3}$，S_△BDR+S_△BRF+S_△ARF=$\frac{2}{3}$，列出方程组求出a的值，同理可求出S_△APE=S_△BFQ，利用S_△PQR=S_△BCE-（S_△BCF-S_△BFQ）-（S_△ACD-S_△APE-S_△CDR）求解即可得出答案．

解答 解：连接BR，设△CDR的面积为a，△BRF的面积为b，

∵BD=2DC，AF=2FB，
∴△BDR的面积为2a，△ARF的面积为2b，
∵已知△ABC面积为l，
∴S_△CDR+S_△BDR+S_△BRF=$\frac{1}{3}$，S_△BDR+S_△BRF+S_△ARF=$\frac{2}{3}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+b=\frac{1}{3}}\\{2a+b+2b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{21}}\\{b=\frac{4}{21}}\end{array}\right.$，
∴△CDR的面积为$\frac{1}{21}$，
同理可得S_△APE=S_△BFQ=$\frac{1}{21}$，
S_△PQR=S_△BCE-（S_△BCF-S_△BFQ）-（S_△ACD-S_△APE-S_△CDR）=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$+S_△BFQ-$\frac{1}{3}$+S_△APE+S_△CDR=S_△BFQ+S_△APE+S_△CDR=$\frac{1}{21}$×3=$\frac{1}{7}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了面积与等积变换，解题的关键是正确作出辅助线，求出S_△BFQ=S_△APE=S_△CDR=$\frac{1}{21}$．